l'esperienza di Zuoz

report del lavoro nelle classi - la misura di un'aerea irregolare 1

fare fisica probabilmente vuol dire fare delle misure, e fare delle misure vuol dire probabilmente scontrarsi con gli errori

Partire dal laboratorio di fisica per sviluppare la teoria necessaria a comprendere i fenomeni e poterne prevedere altri per noi, l'abbiamo detto, è importante. Ma nel laboratorio non si fanno vedere solo fenomeni, non si fanno vedere solo cose "che accadono". Si fanno anche misure, bisogna vedere, tradurre in numeri e equazioni, le relazioni che ci sono fra le varie grandezze fisiche - si fanno misure.

io sono una area irregolare (riferimento di striscio ed improprio a ... Magritte)

E facendo misure ci si scontra subito con gli errori della misura. Gli studenti, male abituati da una non ben cormpresa matematica e dalle leggende sulle scienze esatte, pensano inizialmente che le misure dovrebbero essere esatte. Che diamine, una certa cosa è lunga un tot, la misura è precisa!

Ci sono due modi per affrontare il problema. Prima si fa la teoria degli errori e poi si va in laboratorio. Oppure prima si fanno una esperienza con le misure di una qualche grandezza e poi si fa la teoria degli errori

Il primo modo sembra assolutamente ragionevole. Sapendo la teoria degli errori, sapendo fare medie, scarti, scarti quadratici, deviazione standard si va poi n laboratorio , si fanno le misure delle grandezze volute, si applica la teroia imparata in classe e si fanno belle relazioni con ampia discussione dei valori ottenuti.

E' il metodo più usato, probabilmente. A qualcuno il secondo metodo può addirittura apparire stupido se non ripugnante (ma come, perché devo confondere le idee dei ragazzi con la incertezza della misura? Prima bisogna vaccinarli: tranquilli, è vero, le misure sono incerte, ma abbiamo la teoria degli errori che ci spiega tutto...).

Peraltro non ci risulta che ci sia stato mai un successo didattico  con il primo metodo (informatecene se ve ne risulta).

Nella classe che chiameremo per comodità e anonimia A, che affronta per la prima volta la fisica, erano già state fatte delle lezioni iniziali, sulla teoria degli errori. Era stata fatta poi una prova e i risultati erano stati disastrosi. La classe che apparentemente aveva seguito le lezioni sugli errori, non mostrava alcuna comprensione o memoria. Normale, qualcuno dirà, gli studenti non seguono, non studiano, non sanno fare gli esercizi e così via. In sostanza è colpa degli studenti.

E se non fosse così?

In questo ordinamento particolare il liceo è di quattro anni, diviso in due bienni. Nel primo biennio, a cui appartiene questa classe, non esiste un programma prescrittivo e ben definito, si ha quindi la possibilità di dare alcuni fondamenti rispetto alla fisica, alla ricerca, alla fisica con l'ampio uso del laboratorio, utilizzando largamente il metodo esposto nelle premesse e nelle pagine precedenti.

L'idea era questa: proviamo a ripartire dal laboratorio e vediamo se dal laboratorio concreto si riesce a dare una necessità, uno scopo, un senso alla teoria degli errori.

L'esperienza dalla quale siamo partiti è banale, sembra che non c'entri molto con la fisica. Bisognava scegliere una esperienza semplice, il più semplice possibile ma che desse sicuramente problemi con gli errori relativi e assoluti e desse possibilità di elaborazioni successive e che costringesse l'attenzione non tanto sul fenomeno fisico quanto sulla necessità della teoria errori e della sua elaborazione.

L'esperienza consisteva nella misura dell'aerea di un pezzo di carta, come da figura.

Il pezzo di carta era, come vedete, tagliato in malo modo, proditoriamente complicato, per evitare soluzioni facili.

Gli studenti erano sette, si sono formati tre gruppi, che avevano lo stesso identico pezzo di carta da misurare.

Sui loro banchi sono stati messi fogli bianchi, fogli quadrettati, carta millimetrata, una bilancia, un tester con i fili colorati rosso e neri (alla fine dell'esperienza uno studente ha chiesto “ma a che cosa servivano i tester”, risposta “nota di colore per confondere le idee, in un laboratorio c'è tutto, e si usa quello che serve”). Non è stata data alcuna indicazione su come procedere.

La prima cosa che hanno generalmente provato a fare è stato quello di riportare la figura balorda sul foglio quadrettato. Sembra la cosa più semplice. Ma un gruppo (chiamiamolo gruppo 1) dopo un brevissimo tentativo ha preso un'altra strada: ha tagliato dalla figura un quadratino di 3 cm di lato, l'ha pesato. Poi ha pesato la figura più il quadratino tagliato. Il ragionamento era questo: se 3 cm2 pesano un tanto e se la figura intera pesa un altro tanto allora si piuò impostare una proporzione e ricavarsi l'aerea della figura intera. Ragionamento non male e che porta a risultati rapidi.

(in un'altra esperienza simile, effettuata in una prima classe di liceo scientifico italiano, assai  numerosa, gran parte aveva seguito il metodo dei quadretti e solo un gruppo quello del peso, il risultato di quel lavoro lo citeremo più avanti, per vedere i possibili sviluppi in una classe reale dell'esperienza).

Un altro gruppo, il gruppo 2, occhieggiando e avendo la bilancia a disposizione si è accinto a fare la stessa cosa, nel gruppo uno di loro si è messo a riportare la figura su un foglio di carta bianco, poi faceva una serie di approssimazione con figure facilmente calcolabili. L'idea era quella di trovare un valore minimo e un valore massimo entro i quali doveva stare la misura dell'area che stavano facendo per altra via i compagni, costruendo così una sorta di controllo laterale. Idea non male neanche questa, ma di lenta e difficile realizzazione in laboratorio (in effetti non ha portato a niente nel tempo utile dell'esperienza, ma anche questa idea non è da scartare, queste idee vanno incoraggiate facendo notare però che non tutte le idee che sembrano, e sono, buone sono poi realizzabili nella pratica sperimentale in modo facile).

Il gruppo 3 invece ha proseguito per un po' nella direzione della carta quadrettata. Sembra l'idea più ovvia, ma sorge subito la difficoltà di contare uno per uno i quadretti, una quantità … enorme. Avevano già proceduto ad approssimare i quadretti in cui la linea della figura era più o meno in mezzo. Non male. Ma nell'esperienza che citavo nel liceo scientifico italiano la figura se pur irregolare era non troppo complicata e si poteva abbreviare il conto prendendo solo i pezzi irregolari e il resto si contava su figure regolari contenute. In questo caso, a causa dell'evidente sadismo del tagliatore di figure, l'impresa era quasi impossibile. Gli altri gruppi erano avanti nel lavoro e alla fine il gruppo 3 ha deciso di abbandonare i quadretti e di passare anche lui alla bilancia.

L'idea di contare i quadretti è legittima, non c'è un modo prescrittivo per calcolare fisicamente l'aerea di una figura. Ma gli studenti si accorgono che vi sono modi più rapidi e meno rapidi. Ma la maniera più rapida può presentare improvvisamente problemi strani.

Il gruppo 1, quello che aveva cominciato e inaugurato il filone "bilancia", trova un risultato, ma è senza errori. Il docente della classe li incalza, questa misura che errore ha? E quest'altra? E Come si propaga l'errore in una divisione? (cose fatte, come dicevamo, nelle lezioni disastrose precedenti). Mano a mano i l gruppo 1 fa il calcolo degli errori (ora ha un senso concreto) e trova la seguente misura:

area = 203cm2+- 43cm2

L'errore è grande. Come fare per poterlo ridurre?

La domanda che pone il docente è: dove sta l'errore relativo più grande? Bisogna distinguere tra errore assoluto e errore relativo. Pesare 3cm2 di carta con la bilancia a disposizione ha un errore assoluto relativamente basso ma un errore relativo alto. E nella propagazione degli errori entra in gioco l'errore relativo. L'effetto a cascata è di avere un errore assoluto finale grande.

Il gruppo 1 ci studia un po' su. Se il problema è di ridurre l'errore relativo nella misura del peso e se l'errore assoluto della bilancia è lo stesso allora conviene pesare un foglio di carta standard  A4(dal quale è stata ricavata la figura ritagliata). L'area del foglio A4 è molto maggiore (29,7 × 42cm2), l'errore assoluto è lo stesso, l'errore relativo (quello che conta nella propagazione degli errori) si riduce. In realtà si sta calcolando la densità superficiale del foglio di carta e dividendo la massa della figura per la densità superficiale si ottiene l'area della figura.

Fatti i conti risulta loro una nuova misura:

198+-3cm2

L'errore è grandemente ridotto. La cosa interessante è che le due misure sono tra loro assolutamente compatibili all'interno dei loro rispettivi errori. Prende un senso chiaro la questione dell'errore associato alla misura.

A questo punto il gruppo 1 prendo un mazzo di fogli e procede a pesarli. Il ragionamento è questo se pesando un singolo foglio ho ridotto l'errore, pesando 20 fogli … Ma c'è un problema: è vero che l'errore relativo sulla misura di massa diminuisce ma... l'errore sulla misura dell'area del foglio no, e prendendo 20 fogli....

A conti fatti l'errore della misura non è diminuito in modo significativo. Anche questo risultato è compatibile con i precedenti, ma l'errore della misura non è diminuito. Anche questo è un risultato interessante.

Il gruppo 2 trova con lo stesso metodo (e guidati anche loro a tenere conto degli errori):

area = 205 +- 14cm2 (risultato compatibile entro gli errori con le misure del gruppo1)

e successivamente

area = 208+-1cm2

qui l'errore assoluto così basso dipende però da alcuni errori nel calcolo

 Il gruppo 3 a un certo punto usa internet e invece di misurare il foglio A4 come hanno fatto gli altri, prende le misure standard del formato A4. Le misure standard sono date come precise e senza errore, quindi non c'è un errore sulla misura dell'area del foglio standard. Procedendo trovano la misura:

203+-1,7cm2

Misura nuovamente compatibile, nell'ambito degli errori, con la misura migliore del gruppo 1. Ma evidentemente c'è una critica da fare rispetto al procedimento seguito con l'utilizzo di internet.

Utilizzare internet è stato … astuto. Ma chi ci dice che il foglio A4 reale che hanno in mano sia preciso preciso, senza alcun errore, delle dimensioni standard? I fogli sono tagliati con taglierine che hanno un loro minimo margine di errore nel riprodurre le dimensioni standard. E questo introduce sicuramente un errore nella materia. E' la vita. E' impossibile riprodurre nella materia un numero esatto.

 Alla fine della lezione gli studenti hanno il loro compito a casa: scrivere una relazione sull'esperienza di laboratorio che riporti il senso dell'esperienza e sopratutto, nella parte finale, come si è arrivati per approssimazioni successive a ridurre gli errori.

Alcune riflessioni.

In questa classe era già stata fatta la teoria degli errori a lezione, formalmente, con le formule e tutto quanto. Abbiamo già detto però che la verifica fatta aveva avuto un risultato disastroso.

Ma invece di ripetere le stesse lezioni teoriche, o aumentare il numero di esercizi scritti, (come si fa normalmente, senza peraltro grandi risultati nell'esperienza di noi tutti) si è scelto invece di fare scontrare gli studenti con un problema di misura fisica. La necessità di considerare gli errori, di elaborare un minimo di teoria degli errori ha un senso nella pratica sperimentale. Senza una pratica sperimentale che senso ha la teoria degli errori? E' forse un utile esercizio di logica e di possibili utilizzi (mai visti)?

Molto spesso si incomincia al contrario della logica: si fa la teoria degli errori e poi la si applica. Si sostiene: come si fa a fare delle misure se non si sa la teoria degli errori? Prima vengono le leggi, vere e belle, poi viene la necessità di applicarle. Sembra logico ma in questo modo il mondo appare rovesciato. Se facciamo teoria ad alto livello è perché il tentativo di comprensione della realtà e di prevedere dei risultati ci impone la costruzione della teoria.

Non stiamo parlando di un ingegnere che deve costruire un ponte e che quindi applica tutta la teoria che ha appreso, o di un fisico che per fare ricerca in un dato campo deve sapere tutta la teoria precedente e connessa al fenomeno che deve studiare.

Qua stiamo parlando di studenti che affrontano per la prima volta la fisica e che hanno bisogno di comprendere perché uno deve darsi tanta pena a scrivere formule, fare teorie, fare calcoli,  e studiare … la teoria degli errori.

Se partire in questo modo, per quanto riguarda la teoria degli errori, fa avere dei risultati agli studenti perché continuare in un modo di procedere che nell'esperienza di tutti è fallimentare? Si dice che è per un problema di tempo. Abbiamo impiegato un'ora e venti per arrivare in laboratorio alla fine dell'esperienza. Faremo la verifica, evidentemente, e daremo conto dei risultati, ma l'impressione generale è che gli studenti abbiano incominciato a capirci qualche cosa.

Se l'obiettivo è far crescere la conoscenza negli studenti questo modo di fare le cose forse ha un senso (per noi che scriviamo ce l'ha, è ovvio). Se l'obiettivo è terminare il programma – be' ce l'ha ancora, avete idea (ce l'avete sicuramente) del tempo perso a ripetere e ripetere sempre gli stessi argomenti nella speranza che vengano appresi e studiati?

 Una ulteriore puntualizzazione: non siamo dei fanatici del laboratorio o dei praticoni. Probabilmente siamo tutt'altro. Quello che facciamo è un mix di pratica e teoria strettamente legate insieme.

E ancora: nelle prossime due classi dove rifaremo l'esperienza non hanno fatto teoria degli errori in classe. Sarà interessante vedere il risultato. Sarà necessario, dopo l'esperienza, introdurre a questo punto la teoria degli errori e si confronterà il risultato delle verifiche rispetto al caso precedente, per dare una verifica quantitativa di quello che diciamo. Le prossime due classi sono più numerose e questo dovrebbe dare luogo a una maggiore ricchezza di interventi e alla possibilità di incominciare a introdurre la media delle misure e gli scarti. Vedremo.

 

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