Insegnare relatività nel XXI secolo

lezione 2

riportiamo qui i titoli dei capitoletti della lezione, con i primi due paragrafi, per una comprensione più chiara degli argomenti trattati. Il file completo della lezione è scaricabile in formato pdf cliccando qui di lato in alto .

Gli orologi atomici

Avevo concluso la lezione precedente dicendo che nel '67 viene adottato il tempo atomico, basato su una rete di orologi atomici al 133Cs. Attualmente il campione ufficiale di tempo è appunto il TA.

Mi pare quindi giusto dire qualcosa sugli orologi atomici. Non perché sia assoluta­mente indispensabile: potrei limitarmi a dire che gli orologi atomici esistono, sono molto precisi, molto accurati, molto sofisticati. Però in questo corso, per l'impostazione che do all'insegnamento della relatività, vorrei cercare di non lasciare in giro delle cose ''miti­che," per cui in particolare non voglio che gli orologi atomici restino qualcosa che non si sa come funziona, ma si sa solo che sono cose magiche, bellissime...

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Virtù degli orologi atomici

Da che cosa dipendono la bontà e l'accuratezza di un orologio di questo genere? Dipendono dal fatto che quella frequenza è strettamente legata alla differenza di energia tra i due livelli, che è una proprietà degli atomi, indipendente da parametri esterni, come accadeva invece per un pendolo, per il quarzo, ecc. Gli atomi in sé sono oggetti molto più sicuri, affidabili, stabili, di quanto non siano apparati costruiti da noi.

Perché sono importanti gli orologi atomici? Ci sono due ragioni. Da un punto di vista pratico, perché sono i migliori che abbiamo: sono pochissimo sensibili alle influenze di cui abbiamo parlato. Alcune di queste influenze si possono sempre ridurre: per esempio per le variazioni di temperatura si può usare un termostato. Ma nemmeno i termostati sono perfetti; la temperatura in un termostato non rimane rigorosamente costante, ma cambierà, sia pure di poco.

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orologi come strumenti fisici

Questo è il momento di una considerazione didattica: nell'insegnamento della fisica è necessario dedicare spazio agli orologi perché bisogna togliere al tempo quell'aura me­tafisica che si porta dietro. Ripeto quanto ho già detto nella lezione scorsa: il tempo dal punto di vista di un fisico non è una cosa speciale; è una grandezza che si misura con strumenti che si chiamano orologi e che sono fatti in qualche modo. Sono strumenti di misura: come tali possono essere più o meno buoni, più o meno affidabili, come qualunque altro strumento di misura: come un termometro, come un amperometro. In questo non hanno nessuna particolarità, sono strumenti della fisica; sono per così dire meccanismi, anche se il termine per un orologio atomico non è molto appropriato, visto che non ci sono rotelle che girano; ma in senso generico sono congegni, apparati... Usate la parola che più vi piace; l'importante di queste parole è che vogliono indicare qualcosa di reale, che è stato fabbricato da qualcuno che sa fare quelle cose; che funzionano — bene o male secondo quanto è bravo chi li ha costruiti — ma anche in questo non hanno niente di diverso da qualunque altro strumento della fisica.

Hanno diversi principi di funzionamento (dall'orologio ad acqua all'orologio atomico, tutti hanno qualche principio fisico alla base delle loro funzionamento: molto diversi uno dall'altro, ma ognuno ha il suo, e chi vuol sapere come funziona un orologio deve capire qual è il principio di funzionamento); sono soggetti a perturbazioni esterne (di questo abbiamo ampiamente discusso: temperatura, pressione, campi elettrici, magnetici, acce­lerazioni, ecc.); se non sono assoluti devono essere tarati.

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il tempo assoluto

Dal momento che la relatività è fisica dello spazio-tempo, bisogna analizzare il ruolo dello spazio e del tempo nella fisica newtoniana, dove lo spazio e il tempo sono assoluti. Ma prima di riflettere su cosa significano i termini "spazio assoluto" e "tempo assoluto," bisogna pensare a come si misurano spazio e tempo. Per quel che riguarda la misura del tempo abbiamo detto abbastanza per inquadrare la questione. Anche al di là di un nsegnamento della relatività, del tempo e di come lo si misura sarebbe giusto che se ne parlasse più di quanto di solito non si faccia.

Ho già detto che non ci si può mettere a insegnare relatività (o comunque fisica moderna) semplicemente appiccicandola a quello che si fa di solito. Se si vuole affrontare in modo accettabile, comprensibile e chiaro la fisica moderna, bisogna prima pensare a come s'insegna il resto della fisica. Una parte di questo ripensamento consiste nel trattare meglio e più a fondo certi argomenti che, si può dire, si fanno sempre, ma si fanno un po' troppo di corsa. Uno di questi è il tempo assoluto. Sicuramente, iniziando lo studio della fisica, si legge: "nella meccanica newtoniana il tempo è assoluto." Che vuol dire? Se lo si vede quasi come un discorso filosofico, è facile essere tentati di passare oltre rapidamente. Ma invece è il caso di rifletterci un po' sopra.

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la matematizzazione del tempo

Ora voglio dedicare un po' di tempo a una questione collaterale rispetto al nostro discorso, ma che a me sembra importante discutere: sto parlando della matematizzazione del tempo.Questo introduce un tema importantissimo per tutta la fisica moderna e in particolare per la relatività: il ruolo della matematica. In che senso e in che misura ci dev'essere una formulazione matematica dei concetti fisici? che posto ha? che cosa significa? Mi sembra utile parlarne nel caso del tempo, per due ragioni: primo, perché in relatività il tempo ha un ruolo dominante, quindi è cosa che va sviscerata da tutti i lati; secondo, se si vuole affrontare il problema del ruolo della matematica nella fisica, il caso del tempo è forse quello più semplice, più elementare. Così elementare che di solito viene totalmente trascurato.

Il tempo della fisica newtoniana viene identificato con la retta reale orientata. (Una pignoleria matematica: di per sé la retta dei numeri reali non possiede un'orientazione se non si precisa la struttura algebrica. Con la sola struttura di gruppo additivo non c'è un orientamento definito; se s'introduce una struttura di spazio vettoriale con moltipli­cazione sì: i numeri positivi sono diversi dai negativi. Ricordo inoltre che l'orientamento è una struttura diversa dalle strutture algebriche.) Quest'interpretazione sembra non richiedere ulteriori spiegazioni; si potrebbe anzi darla come un punto di partenza ovvio, sottinteso, quasi. Nella meccanica newtoniana il tempo è rappresentato con un numero reale; quando il tempo passa, ci spostiamo verso destra sulla retta dei numeri reali (asse dei tempi = asse delle ascisse, ecc.)

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lo spazio assoluto

L'introduzione al concetto di spazio sarà più breve, soprattutto per un motivo: prima ho sottolineato che c'è scarsa attenzione al concetto di tempo nella tradizione dell'inse­gnamento della fisica. Invece per lo spazio l'attenzione dei testi è maggiore e c'è quindi meno bisogno di porvi l'accento; anche qui ci sono molte cose da dire, ma posso ritenere che in gran parte vi siano già familiari.

Per cominciare, diciamo subito cos'è lo spazio assoluto. Riprendiamo pari pari, sempre dai Principia, la frase di Newton:

"Lo spazio assoluto, per sua natura senza relazione ad alcunché di esterno, rimane sempre uguale e immobile ..."

Anche in questo caso, chi la legge oggi si chiede subito: immobile rispetto a che? Però già ai tempi di Newton su questo si discuteva.

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le unità di lunghezza

Diciamo ora qualcosa sulla misura dello spazio. Occupiamoci in primo luogo dell'u­nità di lunghezza, come prima ci siamo occupati della definizione dell'unità di tempo. Le unità di lunghezza nascono nella remota antichità per esigenze pratiche e commerciali: misure di terreni, ecc. Sono così nate innumerevoli unità di misura di lunghezza distinte tra loro, che sono sopravvissute a lungo; alcune sopravvivono ancora.

Il metro, l'unità di lunghezza del Sistema Internazionale (SI), nasce nel 1799: la sua definizione iniziale è 1/40 000 000 del meridiano terrestre. Si scopre subito che è una definizione difettosa, perché basata su un campione difficile da misurare bene. Dopo vari tentativi intermedi, nel 1889 il metro viene definito sulla base di un campione di platino-iridio conservato al Bureau des Poids et Mésures di Sèvres, in Francia. Questa definizione ha resistito fino al 1960, quando il metro è stato definito in un modo un po' più immateriale: come un certo multiplo di una certa lunghezza d'onda (non importa qui essere più precisi) dello spettro del 86Kr (isotopo di un gas nobile).

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spazio e geometria euclidea

Termino il discorso sullo spazio osservando che la nostra visione dello spazio non si esaurisce con le misure di lunghezza. La geometria (anche questa una matematizzazione dello spazio) non è solo lunghezze; è costruita in termini di lunghezze e di angoli. Bisogna quindi parlare anche di misure di angoli. Per fortuna non c'è bisogno di preoccuparsi delle unità degli angoli: esse esistono di per sé. Si prende l'angolo giro e lo si divide in un certo numero di parti. Ciò si può fare in diversi modi, come sapete bene: con il grado sessagesimale, il grado centesimale, il radiante; comunque sia, l'unità dell'angolo è già contenuta nella definizione stessa di angolo.

Dal punto di vista della fisica, misurare angoli significa disporre di adeguati stru­menti: in fondo ci si riconduce sempre a cerchi graduati. Faccio notare che ancor oggi la misura degli angoli è una componente fondamentale della ricerca astronomica e anche astrofisica e cosmologica. Saper fare misure di angoli è cosa fondamentale in astronomia, e ha avuto una grandissima importanza nella storia; le misure angolari hanno consentito di scoprire moltissimi fenomeni astronomici. Qui mi limito semplicemente a segnala­re che anche questa è cosa che solitamente non viene messa in evidenza. Gran parte dell'astronomia si è basata a lungo assai più su misure di angoli che non su misure di lunghezze, per la semplice ragione che è molto più facile fare misure precise di angoli, piuttosto che misure (anche non tanto precise) di distanze. E la difficoltà nella misura delle distanze diventa tanto più grande quanto più ci si allontana dalla scala umana: nel caso della cosmologia, questa è oggi la difficoltà centrale nella determinazione dei parametri fondamentali e quindi nella scelta fra possibili modelli di Universo.

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un indizio trascurato

C'è in realtà un piccolo punto interrogativo: funziona proprio tutto? A dire il vero c'era almeno un indizio che poteva far dubitare; ma poiché era un unico indizio, che poteva essere spiegato in altri modi mentre non pareva attinente alla struttura dello spazio, non gli fu data importanza per il problema di cui stiamo discutendo ... fino a quando non è arrivato Einstein. Avrete capito che sto parlando del perielio di Mercurio. Il moto del perielio di Mercurio non torna con le previsioni della meccanica e della gravitazione newtoniana. Tutto il resto, tutti i moti dei pianeti, tornava bene; ma il moto del perielio di Mercurio non tornava, anche con i conti più raffinati, più sofisticati, come già si sapevano fare alla fine deH'800. C'erano i famosi, maledetti 43" per secolo che non si era riusciti a spiegare.

Il fatto è che si poteva supporre che quell'effetto potesse essere spiegato in altro modo. Tenete conto che quando si arriva a questi livelli di raffinatezza non ci si può limitare al moto dei due corpi, alle famose leggi di Keplero; si deve tener conto che i pianeti si attirano tra loro, il che produce delle "perturbazioni"; questo richiede calcoli molto più complessi. E quei calcoli sono necessariamente approssimati; a volte ci si può annidare qualche trabocchetto. Tra l'altro c'era un precedente nel moto della Luna, che fino a metà dell'800 aveva dato del filo da torcere, perché non tornava bene neppure quello. Poi si era scoperto che era solo questione di cattive approssimazioni nei calcoli...

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la deflessione della luce

 Vediamo ora un caso esemplare per la discussione sul carattere euclideo dello spazio: la deflessione della luce. Vi presento una situazione semplificata, senza stare a spiegare come si fanno davvero queste osservazioni. Nella fig. 2-2, S è il Sole (la figura non è in scala: il Sole è molto esagerato come dimensioni rispetto alla distanza dalla Terra); T e T' sono due posizioni della Terra a distanza di sei mesi l'una dall'altra; Ei e E2 sono due stelle (che sarebbero assai più lontane se il disegno fosse in scala).

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nota didattica

Debbo ora fare un'avvertenza: non tutte le cose che dico sono da portare in classe, pari pari come sono. Ho detto e ripetuto che la relatività non va considerata come un argomento isolato: che tutto l'insegnamento della fisica dovrebbe essere integrato allo scopo di preparare il terreno, fin da quando si comincia a parlare di fisica (penso al triennio).

Abbiamo parlato di tempo, di spazio, di unità di misura, di modo di misurarli, di spazio euclideo: è quasi ovvio che questo dovrà essere un argomento iniziale, prepara­torio. Ho anche detto infatti che normalmente alle questioni di metrologia dello spazio e del tempo si dà poca importanza, e converrebbe dedicargliene di più. Abbiamo poi discusso gli esperimenti di deflessione gravitazionale. Mi servivano per far vedere fatti sperimentali che dimostrano che il mondo è un po' più complicato di come si credeva all'inizio: la geometria euclidea non è così automaticamente garantita. Questo però non lo ritengo un discorso da presentare all'inizio. Comunque, sulla deflessione gravitazionale della luce avremo occasione di tornare. Quello che è importante dire all'inizio è che noi possiamo sì prendere per valida la geometria euclidea, ma siamo autorizzati a farlo solo in base alle misure: non lo possiamo decidere a priori, con argomenti logici.

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problemi

1. Perché non basterebbe la retta razionale per la matematizzazione del tempo?

2. In che senso il 86Kr ci dà un'unità assoluta? Perché bisogna specificare un preciso isotopo, e non basta dire Kripton?

3. Quanto vale β1 se Σ1 è α Centauri? (distanza 1.3 parsec = 4 • IO16 m, α= 0.01 rad).

4. Esaminare le possibili interpretazioni dell'esperimento di deflessione della luce.

(la soluzione e la discussione dei problemi sono nel file pdf che potete scaricare dal link in alto della colonna destra di questa pagina N,d.R.)

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